tanθ=y/x হলে, xcos+2θysin2θ এর মান-

দেওয়া আছে, \( \tan \theta = \frac{y}{x} \)

আমাদের \( x \cos 2\theta + y \sin 2\theta \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, \( \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \) এবং \( \sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \)

এখন, \( \tan \theta = \frac{y}{x} \) এর মান বসিয়ে পাই,

\( \cos 2\theta = \frac{1 - (\frac{y}{x})^2}{1 + (\frac{y}{x})^2} = \frac{1 - \frac{y^2}{x^2}}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \)

এবং, \( \sin 2\theta = \frac{2 \cdot \frac{y}{x}}{1 + (\frac{y}{x})^2} = \frac{\frac{2y}{x}}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = \frac{2xy}{x^2 + y^2} \)

সুতরাং, \( x \cos 2\theta + y \sin 2\theta = x \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + y \cdot \frac{2xy}{x^2 + y^2} \)

\(= \frac{x(x^2 - y^2) + y(2xy)}{x^2 + y^2} = \frac{x^3 - xy^2 + 2xy^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^3 + xy^2}{x^2 + y^2} \)

\(= \frac{x(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = x \)

অতএব, \( x \cos 2\theta + y \sin 2\theta = x \) 🥳