tan15°=?

প্রশ্ন: tan 15° = ?

উত্তর: \( \tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3} \)

সমাধান:

আমরা জানি,

\( \tan (45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} \)

এখন, \(\tan 45^\circ = 1\) এবং \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

সুতরাং, \[ \tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} \]

উপরের ভগ্নাংশের উভয় ঊর্ধ্ব ও নীচে \(\sqrt{3}\) দ্বারা গুণ করি:

\[ \begin{aligned} \tan 15^\circ &= \frac{\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times \sqrt{3}}{\left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times \sqrt{3}} \\ &= \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \end{aligned} \]

এখন, মানদণ্ডে রেডিক্যাল রূপে রূপান্তর করতে, সুদৃঢ় রূপে অভিন্ন সূত্র ব্যবহার করি:

প্রথমে, উপরের ভগ্নাংশের মানদণ্ডের জন্য, (আনুভূমিক সমান্তরাল গুণন দিয়ে) ঘনফল করি:

\[ \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \]

উপরে, ডান পাশের বিস্তার করি:

\[ \frac{(\sqrt{3})^2 - 2 \times \sqrt{3} \times 1 + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} \]

অতএব, এইটি সরলীকৃত হয়:

\[ \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

অতএব,

\( \boxed{\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}} \)