একটি সরলরেখা মূলবিন্দু থেকে y-x=0 রেখাকে 3 একক দূরত্বে লম্বভাবে ছেদ করে। রেখাটির সমীকরণ কোনটি? 

প্রশ্ন:

একটি সরলরেখা মূলবিন্দু থেকে \( y - x = 0 \) রেখাকে 3 একক দূরত্বে লম্বভাবে ছেদ করে। রেখাটির সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:

\( y - x = 0 \) সরলরেখাটিকে \( y = x \) আকারে লেখা যায়। সুতরাং, এই রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং এর ঢাল 1।

যে সরলরেখা \( y = x \) রেখার উপর লম্ব, তার ঢাল হবে \( -1 \) (কারণ লম্ব রেখাগুলির ঢালের গুণফল \( -1 \) হয়)।

মনে করি, নির্ণেয় সরলরেখাটি \( (h, h) \) বিন্দুতে \( y = x \) রেখাটিকে ছেদ করে। যেহেতু ছেদবিন্দুটি \( y = x \) রেখার উপর অবস্থিত, তাই এর স্থানাঙ্ক \( (h, h) \) হবে।

মূলবিন্দু \( (0, 0) \) থেকে \( (h, h) \) বিন্দুর দূরত্ব 3 একক। সুতরাং, \(\sqrt{(h - 0)^2 + (h - 0)^2} = 3 \) \(\implies \sqrt{2h^2} = 3 \) \(\implies \sqrt{2} |h| = 3 \) \(\implies |h| = \frac{3}{\sqrt{2}} \) \(\implies h = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \)

সুতরাং, ছেদবিন্দুটি \( (\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{3}{\sqrt{2}}) \) অথবা \( (-\frac{3}{\sqrt{2}}, -\frac{3}{\sqrt{2}}) \) হতে পারে।

যেহেতু নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \( -1 \), তাই এর সমীকরণ হবে: \( y - h = -1(x - h) \) \( \implies y - h = -x + h \) \( \implies x + y = 2h \)

যদি \( h = \frac{3}{\sqrt{2}} \) হয়, তবে সরলরেখার সমীকরণ: \( x + y = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) অর্থাৎ, \( x + y = 3\sqrt{2} \)

যদি \( h = -\frac{3}{\sqrt{2}} \) হয়, তবে সরলরেখার সমীকরণ: \( x + y = 2 \cdot (-\frac{3}{\sqrt{2}}) = -3\sqrt{2} \) অর্থাৎ, \( x + y = -3\sqrt{2} \)

যেহেতু প্রশ্নে একটি উত্তর দেওয়া আছে, তাই আমরা \( x + y = 3\sqrt{2} \) বিবেচনা করি।

উত্তর:

নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \( x + y = 3\sqrt{2} \) ✅