x2 + y2 = 25 বৃত্তের (4, 3) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?
প্রশ্নের সমাধান:
দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ:
\[x^2 + y^2 = 25\]
এবং স্পর্শক রেখার বিন্দু: \((4, 3)\)
ধাপ ১: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ:
কেন্দ্র \((0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r = 5\)
ধাপ ২: স্পর্শক রেখার সমীকরণ নির্ণয়:
যেহেতু রেখা পয়েন্ট \((4, 3)\) দিয়ে যায় এবং বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে রেখার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক দিক নির্ণয় করতে হবে।
রেখার সমীকরণ ধরা যাক:
\[y = mx + c\]
ধাপ ৩: রেখার সমীকরণে পয়েন্ট \((4, 3)\) বসিয়ে:
\[3 = 4m + c\]
অর্থাৎ,
\[c = 3 - 4m\]
ধাপ ৪: রেখা ও বৃত্তের মধ্যে স্পর্শকতার শর্ত:
রেখা বৃত্তের স্পর্শক হলে, রেখা ও বৃত্তের মধ্যকার দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
দূরত্ব সূত্র:
\[d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
রেখার সাধারণ রূপ: \[m x - y + c = 0\]
অর্থাৎ, \[A = m, \quad B = -1, \quad C = c\]
ধাপ ৫: দূরত্ব নির্ণয়:
বিন্দু: \((4, 3)\)
তাহলে:
\[d = \frac{|m \times 4 - 1 \times 3 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}\]
অর্থাৎ,
\[d = \frac{|4m - 3 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}}\]
ধাপ ৬: দূরত্ব সমান ব্যাসার্ধের সমান, অর্থাৎ 5:
\[ \frac{|4m - 3 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 5 \]
ধাপ ৭: c এর মান বসানো:
\[ c = 3 - 4m \]
তাহলে:
\[ \frac{|4m - 3 + 3 - 4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 5 \]
সংক্ষেপে:
\[ \frac{|0|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 5 \]
যা সম্ভব নয়।
অর্থাৎ, আমরা অন্য পদ্ধতি ব্যবহার করব।
সরাসরি সমাধান:
প্রতিটি স্পর্শক রেখার সমীকরণের জন্য, যদি রেখা \[ y = mx + c \] হয়, তবে রেখাটি পয়েন্ট \((4, 3)\) দিয়ে যায়, অর্থাৎ:
\[ 3 = 4m + c \]
এবং রেখার সাধারণ সমীকরণ: \[ 4x + 3y + k = 0 \] এরূপে ধরলে, তা থেকে:
\[ 4x + 3y + k = 0 \]
পয়েন্ট \((4, 3)\) দিয়ে যায়, তাই:
\[ 4(4) + 3(3) + k = 0 \]
\[ 16 + 9 + k = 0 \]
\[ k = -25 \]
অতএব, রেখার সমীকরণ:
\[ 4x + 3y - 25 = 0 \]
এটি বৃত্তের স্পর্শক রেখার সমীকরণ।
উত্তর:
\( \boxed{4x + 3y - 25 = 0} \)