যদি tan²θ + secθ = -1; 0<θ<2π হয়, তবে θ এর মান হবে?

প্রশ্ন: যদি \( \tan^2{\theta} + \sec{\theta} = -1 \); \( 0 < \theta < 2\pi \) হয়, তবে \( \theta \) এর মান হবে?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sec^2{\theta} - \tan^2{\theta} = 1 \) সুতরাং, \( \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1 \)

প্রদত্ত সমীকরণটি হল: \( \tan^2{\theta} + \sec{\theta} = -1 \) \( \Rightarrow \sec^2{\theta} - 1 + \sec{\theta} = -1 \) \( \Rightarrow \sec^2{\theta} + \sec{\theta} = 0 \) \( \Rightarrow \sec{\theta} (\sec{\theta} + 1) = 0 \)

সুতরাং, \( \sec{\theta} = 0 \) অথবা \( \sec{\theta} = -1 \)

\( \sec{\theta} = 0 \) সম্ভব নয়, কারণ \(\sec{\theta}\) এর মান \([-1, 1]\) এর বাইরে থাকে।

অতএব, \( \sec{\theta} = -1 \) \( \Rightarrow \cos{\theta} = -1 \)

আমরা জানি, \( \cos{\theta} = -1 \) হলে, \( \theta = \pi \)

যেহেতু \( 0 < \theta < 2\pi \), তাই \( \theta = \pi \) এই শর্ত পূরণ করে।

সুতরাং, \( \theta = \pi \) 🥳

উত্তর: \( \pi \)