y = 3x + 1 এবং 3y - x = 4 রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডক y-অক্ষকে P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে। PQ এর দূরত্ব নির্ণয় কর? 

দেওয়া আছে, সরলরেখা দুইটি হলো:

y = 3x + 1 --- (1)

3y - x = 4 ⇒ y = (x/3) + (4/3) --- (2)

সুতরাং, রেখা দুইটির সমীকরণ:

3x - y + 1 = 0

x - 3y + 4 = 0

এখন, রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:

\(\frac{3x - y + 1}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{x - 3y + 4}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}}\)

\(\frac{3x - y + 1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{x - 3y + 4}{\sqrt{10}}\)

সুতরাং, 3x - y + 1 = \(\pm\) (x - 3y + 4)

Case 1: ধনাত্মক (+) চিহ্ন ব্যবহার করে,

3x - y + 1 = x - 3y + 4

2x + 2y - 3 = 0

y-অক্ষকে ছেদ করার জন্য, x = 0 বসিয়ে পাই,

2(0) + 2y - 3 = 0

2y = 3

y = 3/2

অতএব, P(0, 3/2) 📍

Case 2: ঋণাত্মক (-) চিহ্ন ব্যবহার করে,

3x - y + 1 = -x + 3y - 4

4x - 4y + 5 = 0

y-অক্ষকে ছেদ করার জন্য, x = 0 বসিয়ে পাই,

4(0) - 4y + 5 = 0

-4y = -5

y = 5/4

অতএব, Q(0, 5/4) 📌

P এবং Q এর মধ্যে দূরত্ব,

PQ = |3/2 - 5/4| = |6/4 - 5/4| = |1/4| = 1/4

সুতরাং, PQ এর দূরত্ব 1/4 🎯