x = y সরলরেখাটি xy² = 4(4-x) বক্ররেখাটির যে বিন্দুতে মিলিত হয়, বক্ররেখাটির সেই বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কত?

প্রশ্ন:

x = y সরলরেখাটি xy² = 4(4-x) বক্ররেখাটির যে বিন্দুতে মিলিত হয়, বক্ররেখাটির সেই বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কত?

উত্তর:

প্রথমে, x = y সরলরেখাটি xy² = 4(4-x) বক্ররেখাটিকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা নির্ণয় করি। 🤔
যেহেতু x = y, তাই আমরা বক্ররেখার সমীকরণে x এর পরিবর্তে y বসাতে পারি:
\(x \cdot x^2 = 4(4-x)\)
\(x^3 = 16 - 4x\)
\(x^3 + 4x - 16 = 0\)
এখন, আমরা \(x = 2\) বসালে পাই:
\(2^3 + 4 \cdot 2 - 16 = 8 + 8 - 16 = 0\)
সুতরাং, x = 2 একটি সমাধান। 😊
অতএব, (x - 2) একটি উৎপাদক। এখন আমরা \(x^3 + 4x - 16\) কে (x - 2) দিয়ে ভাগ করে পাই:
\(x^3 + 4x - 16 = (x - 2)(x^2 + 2x + 8)\)
\(x^2 + 2x + 8 = 0\) সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান নেই, কারণ এর নিরূপক (discriminant) ঋণাত্মক: \(2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28 < 0\)
সুতরাং, x = 2 একমাত্র বাস্তব সমাধান। যেহেতু x = y, তাই y = 2। সুতরাং, ছেদ বিন্দুটি হলো (2, 2)। 🥳 এখন, আমরা বক্ররেখাটির অন্তরকলজ (derivative) নির্ণয় করি:
\(xy^2 = 4(4-x)\)
\(xy^2 = 16 - 4x\)
উভয়পক্ষে x এর সাপেক্ষে অন্তরকলজ করে পাই:
\(\frac{d}{dx}(xy^2) = \frac{d}{dx}(16 - 4x)\)
\(y^2 + x \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} = -4\)
\(2xy \frac{dy}{dx} = -4 - y^2\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{-4 - y^2}{2xy}\)
এখন, (2, 2) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় করি:
\(\frac{dy}{dx} |_{(2,2)} = \frac{-4 - 2^2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{-4 - 4}{8} = \frac{-8}{8} = -1\)
সুতরাং, (2, 2) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল (slope) হলো -1। 😎 এখন, (2, 2) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করি:
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(y - 2 = -1(x - 2)\)
\(y - 2 = -x + 2\)
\(y + x - 4 = 0\)
অতএব, স্পর্শকের সমীকরণ হলো: \(y + x - 4 = 0\) 🎉