(-2, 5 ) বিন্দুগামী কোনো সরলরেখা x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে যেন, 2OA + OB = 0, যেখানে O মূলবিন্দু। সরলরেখাটির সমীকরণ কত?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, সরলরেখাটি (-2, 5) বিন্দুগামী। ধরি, সরলরেখাটি x অক্ষকে A(a, 0) বিন্দুতে এবং y অক্ষকে B(0, b) বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, OA = a এবং OB = b. শর্তানুসারে, 2OA + OB = 0 => 2a + b = 0 => b = -2a এখন, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, সরলরেখাটি (a, 0) ও (0, b) বিন্দু দিয়ে যায়। সুতরাং সরলরেখাটির সমীকরণ হবে: \[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\] যেহেতু b = -2a, তাই আমরা লিখতে পারি: \[\frac{x}{a} + \frac{y}{-2a} = 1\] \[\frac{x}{a} - \frac{y}{2a} = 1\] \[\frac{2x - y}{2a} = 1\] \[2x - y = 2a\] যেহেতু সরলরেখাটি (-2, 5) বিন্দুগামী, তাই এই বিন্দুটি সরলরেখাটির সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। সুতরাং, 2(-2) - 5 = 2a -4 - 5 = 2a -9 = 2a a = -9/2 এখন, a এর মান \(2x - y = 2a\) সমীকরণে বসিয়ে পাই: 2x - y = 2(-9/2) 2x - y = -9 😥 কিন্তু প্রদত্ত উত্তর 2x - y = 1 এর সাথে মিলছে না। 🤔 আমরা ছেদক আকারের সমীকরণ ব্যবহার না করে অন্যভাবে চেষ্টা করি। ধরি, সরলরেখার সমীকরণ: y = mx + c যেহেতু সরলরেখাটি (-2, 5) বিন্দুগামী, সুতরাং: 5 = -2m + c c = 5 + 2m তাহলে, সমীকরণটি হবে: y = mx + 5 + 2m x অক্ষকে ছেদ করার বিন্দু A এর জন্য, y = 0 0 = mx + 5 + 2m x = -(5 + 2m)/m = a y অক্ষকে ছেদ করার বিন্দু B এর জন্য, x = 0 y = m(0) + 5 + 2m y = 5 + 2m = b এখন, 2OA + OB = 0 শর্ত ব্যবহার করে পাই: 2a + b = 0 2*(-(5 + 2m)/m) + (5 + 2m) = 0 -(10 + 4m)/m + 5 + 2m = 0 -(10 + 4m) + m(5 + 2m) = 0 -10 - 4m + 5m + 2m^2 = 0 2m^2 + m - 10 = 0 m এর মান বের করার জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করি: 2m^2 + m - 10 = 0 2m^2 + 5m - 4m - 10 = 0 m(2m + 5) - 2(2m + 5) = 0 (m - 2)(2m + 5) = 0 সুতরাং, m = 2 অথবা m = -5/2 যদি m = 2 হয়, তবে c = 5 + 2(2) = 9 সরলরেখার সমীকরণ: y = 2x + 9 অথবা 2x - y + 9 = 0 যদি m = -5/2 হয়, তবে c = 5 + 2(-5/2) = 0 সরলরেখার সমীকরণ: y = (-5/2)x অথবা 5x + 2y = 0 কোনোটিই প্রদত্ত উত্তরের সাথে মেলে না। 🤔 আবার চেষ্টা করি! ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(Ax + By + C = 0\). যেহেতু (-2, 5) বিন্দুগামী, তাই \(-2A + 5B + C = 0\). x অক্ষকে ছেদ করে যখন y = 0, \(Ax + C = 0 \Rightarrow x = -\frac{C}{A}\). সুতরাং, \(OA = -\frac{C}{A}\). y অক্ষকে ছেদ করে যখন x = 0, \(By + C = 0 \Rightarrow y = -\frac{C}{B}\). সুতরাং, \(OB = -\frac{C}{B}\). দেওয়া আছে \(2OA + OB = 0\), সুতরাং, \(2(-\frac{C}{A}) + (-\frac{C}{B}) = 0\). যেহেতু \(C \neq 0\), তাই \(-\frac{2}{A} - \frac{1}{B} = 0 \Rightarrow \frac{2}{A} = -\frac{1}{B} \Rightarrow A = -2B\). এখন, \(-2A + 5B + C = 0 \Rightarrow -2(-2B) + 5B + C = 0 \Rightarrow 4B + 5B + C = 0 \Rightarrow 9B + C = 0 \Rightarrow C = -9B\). তাহলে সরলরেখার সমীকরণ \(Ax + By + C = 0 \Rightarrow -2Bx + By - 9B = 0\). যেহেতু \(B \neq 0\), তাই \(-2x + y - 9 = 0 \Rightarrow 2x - y + 9 = 0\). তাহলে সঠিক উত্তর \(2x - y + 9 = 0\) হওয়ার কথা। 🤔 প্রদত্ত উত্তরের সাথে মিলছে না। যদি উত্তর \(2x - y = 1\) হয়, তবে সরলরেখাটি (-2, 5) বিন্দুগামী কিনা দেখি। 2(-2) - 5 = -4 - 5 = -9 ≠ 1. সুতরাং, এই উত্তরটি সঠিক নয়। 😥