x² + y² - 3x + 10y - 15 = 0 বৃত্তের (p, - 11) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ 5x - 12y - 152 = 0 হলে p এর মান কত ? 

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ:

\(x^2 + y^2 - 3x + 10y - 15 = 0\)

এবং বৃত্তের উপর একটি বিন্দু \( (p, -11) \)।

বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়:

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\( 2g = -3 \Rightarrow g = -\frac{3}{2} \)

\( 2f = 10 \Rightarrow f = 5 \)

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (-g, -f) = (\frac{3}{2}, -5) \)।

বৃত্তের উপরস্থ \( (p, -11) \) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়:

স্পর্শকের সমীকরণ হবে:

\( px + (-11)y - \frac{3}{2}(x+p) + 5(y-11) - 15 = 0 \)

\( px - 11y - \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}p + 5y - 55 - 15 = 0 \)

\( (p - \frac{3}{2})x - 6y - \frac{3}{2}p - 70 = 0 \)

\( (2p - 3)x - 12y - 3p - 140 = 0 \) [উভয় দিকে 2 দিয়ে গুণ করে]

প্রশ্নমতে, \( (p, -11) \) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \( 5x - 12y - 152 = 0 \)।

সুতরাং, \( (2p - 3)x - 12y - 3p - 140 = 0 \) এবং \( 5x - 12y - 152 = 0 \) একই সরলরেখা নির্দেশ করে।

অতএব, \(\frac{2p - 3}{5} = \frac{-12}{-12} = \frac{-3p - 140}{-152}\)

প্রথম অনুপাত থেকে পাই:

\(\frac{2p - 3}{5} = 1 \)

\( 2p - 3 = 5 \)

\( 2p = 8 \)

\( p = 4 \)

দ্বিতীয় অনুপাত থেকে পাই:

\( \frac{-12}{-12} = \frac{-3p - 140}{-152} \)

\( 1 = \frac{-3p - 140}{-152} \)

\( -152 = -3p - 140 \)

\( -12 = -3p \)

\( p = 4 \)

সুতরাং, \( p = 4 \)। 🎉