AMERICA শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে কয়টি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন হবে? 

প্রশ্ন: AMERICA শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে কয়টি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন হবে?

এখানে AMERICA শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ আছে। এদের মধ্যে A বর্ণটি 2 বার আছে এবং বাকি বর্ণগুলো (M, E, R, I, C) একবার করে আছে। 🤔

3টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠনের ক্ষেত্রে বিভিন্ন কেস হতে পারে। নিচে সেগুলো আলোচনা করা হলো:

কেস ১: যখন 3টি বর্ণই ভিন্ন। 🤩

AMERICA শব্দে 6টি ভিন্ন বর্ণ (A, M, E, R, I, C) আছে। এই 6টি বর্ণ থেকে 3টি বর্ণ বাছাই করার উপায় \( {}^6C_3 \) টি। এরপর এই 3টি বর্ণকে নিজেদের মধ্যে 3! উপা???ে সাজানো যায়। সুতরাং, এক্ষেত্রে মোট শব্দ সংখ্যা:

\( {}^6C_3 \times 3! = \frac{6!}{3!3!} \times 3! = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 6 = 20 \times 6 = 120 \)

কেস ২: যখন 2টি বর্ণ একই (A) এবং অন্যটি ভিন্ন। 🤓

2টি A নিতে হবে। বাকি 5টি ভিন্ন বর্ণ (M, E, R, I, C) থেকে 1টি বর্ণ বাছাই করার উপায় \( {}^5C_1 \) টি। এই 3টি বর্ণকে সাজানোর উপায় \( \frac{3!}{2!} \) টি। সুতরাং, এক্ষেত্রে মোট শব্দ সংখ্যা:

\( {}^5C_1 \times \frac{3!}{2!} = 5 \times \frac{6}{2} = 5 \times 3 = 15 \)

অতএব, মোট শব্দ সংখ্যা \( = 120 + 15 = 135 \) 😎

সুতরাং, AMERICA শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে 135টি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে। 🎉

উত্তর: 135