সাবানের একটি গোলাকার বুদবুদের আয়তন বৃদ্ধির হার ও তার ব্যাসার্ধের বৃদ্ধির হারের অনুপাত কত?

ধরি, \(t\) সময়ে সাবানের বুদবুদের ব্যাসার্ধ \(r\) এবং আয়তন \(V\)।

আমরা জানি, গোলকের আয়তন, \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)

এখন, \(t\) এর সাপেক্ষে \(V\) এর পরিবর্তনের হার নির্ণয় করি:

\(\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\)

\(\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \frac{dr}{dt}\)

\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}\) ✨

প্রশ্নানুসারে, আয়তন বৃদ্ধির হার ও ব্যাসার্ধ বৃদ্ধির হারের অনুপাত নির্ণয় করতে হবে। অর্থাৎ, \(\frac{dV/dt}{dr/dt}\) এর মান বের করতে হবে। 🤔

অতএব, নির্ণেয় অনুপাত:

\(\frac{dV/dt}{dr/dt} = \frac{4\pi r^2 (dr/dt)}{dr/dt}\)

\(\frac{dV/dt}{dr/dt} = 4\pi r^2\)

সুতরাং, সাবানের বু??বুদের আয়তন বৃদ্ধির হার ও ব্যাসার্ধের বৃদ্ধির হারের অনুপাত \(4\pi r^2\)। 🎉