cosθ = k একটি ত্রিকোণমিতি সমীকরণ-

1. k = 1√2 হলে এর মুখ্যমান π/4
2. k = 1 হলে θ = 2nπ, n ∈ Z
3. k = - 1 হলে θ= (2n + 1) π  , n ∈Z

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রত্যেকটি সমাধান আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করা যাক:

i. যখন \(k = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \] এই মানটি মানে \(\theta\) এর জন্য মূল মান হলো \(\frac{\pi}{4}\)। কারণ, \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)। অতএব, মূল মান \(\theta = \frac{\pi}{4}\)। তবে, যেহেতু কসমিনেটি দুইটি কোণের জন্য সমান হতে পারে, প্রথম কোণ \(\theta = \frac{\pi}{4}\) এবং দ্বিতীয় কোণ \(\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\)। কিন্তু, মূল মান হিসেবে সাধারণত \(\frac{\pi}{4}\) উল্লেখ করা হয়। অতএব, **প্রথমটি সত্য**।

ii. যখন \(k = 1\)

\[ \cos \theta = 1 \] এখানে, মানের জন্য কোণের মূল সমাধান হলো \(\theta = 0\)। তবে, এর সমাধান সাধারণতঃ \[ \theta = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] অর্থাৎ, সাধারণ সমাধান হলো \(\theta\) এর জন্য \(\\) যে কোন পূর্ণবর্গের গুণিতক। অতএব, **দ্বিতীয়টি সত্য**।

iii. যখন \(k = -1\)

\[ \cos \theta = -1 \] এখানে, মূল সমাধান হলো \(\theta = \pi\)। সাধারণভাবে, \[ \cos \theta = -1 \Rightarrow \theta = (2n + 1)\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] অর্থাৎ, \(\theta\) এর জন্য সব কোণ যেখানে \(\cos \theta = -1\), সেগুলো হলো \(\pi, 3\pi, 5\pi, \dots\) অতএব, **তৃতীয়টি সত্য**। --- সারসংক্ষেপে, প্রত্যেকটি বিকল্পই সঠিক। অতএব, সঠিক উত্তর হলো: **i, ii ও iii**।