4x+7y=11 সরলরেখার উপর লম্ব এবং যাহা y অক্ষ রেখাকে 2 একক দূরত্বে ছেদ করে এরুপ সরলরেখার সমীকরণ কোনটি ? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(4x + 7y = 11\) সরলরেখার উপর লম্ব এবং যা \(y\)-অক্ষের থেকে 2 একক দূরত্বে ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো। সমাধান: ধরা যাক, সরলরেখাটির সমীকরণ হলো: \[ L: y = mx + c \] এবং যেহেতু এটি \(4x + 7y = 11\) রেখার উপর লম্ব, তাহলে এর ঢাল হবে: \[ m_{L} = -\frac{1}{m_{AB}} \] যেখানে \(m_{AB}\) হলো মূল রেখার ঢাল। মূল রেখার সমীকরণ হলো: \[ 4x + 7y = 11 \Rightarrow y = -\frac{4}{7}x + \frac{11}{7} \] অর্থাৎ, মূল রেখার ঢাল: \[ m_{AB} = -\frac{4}{7} \] অতএব, লম্ব রেখার ঢাল: \[ m_{L} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{4}{7}} = \frac{7}{4} \] অতএব, লম্ব রেখার সমীকরণ: \[ y = \frac{7}{4}x + c \] এখন, এই রেখাটি \(y\)-অক্ষের থেকে 2 একক দূরত্বে ছেদ করে। অর্থাৎ, \(y\)-অক্ষের উপর রেখার সমীকরণ: \[ x = 0 \] তাহলে, এই রেখার \(y\)-অক্ষের উপর বিন্দু: \[ (0, c) \] দূরত্ব \(d\) এর জন্য, সরলরেখা ও \(y\)-অক্ষের মধ্যে দূরত্ব: \[ d = \frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \] এখানে, \(m = \frac{7}{4}\), সুতরাং, \[ d = \frac{|c|}{\sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2 + 1}} = \frac{|c|}{\sqrt{\frac{49}{16} + 1}} = \frac{|c|}{\sqrt{\frac{49 + 16}{16}}} = \frac{|c|}{\sqrt{\frac{65}{16}}} = \frac{|c|}{\frac{\sqrt{65}}{4}} = \frac{4|c|}{\sqrt{65}} \] প্রদত্ত দূরত্ব: \[ d = 2 \] অতএব, \[ 2 = \frac{4|c|}{\sqrt{65}} \Rightarrow |c| = \frac{2 \sqrt{65}}{4} = \frac{\sqrt{65}}{2} \] তাহলে, \(c\) এর মান: \[ c = \pm \frac{\sqrt{65}}{2} \] অতএব, সরলরেখার দুটি সমীকরণ হবে: \[ y = \frac{7}{4}x + \frac{\sqrt{65}}{2} \] এবং \[ y = \frac{7}{4}x - \frac{\sqrt{65}}{2} \] এখন, এগুলির সাধারণ সমীকরণ: \[ y = \frac{7}{4}x \pm \frac{\sqrt{65}}{2} \] দুটি রেখার সমীকরণকে সমান রূপে প্রকাশ করতে চাইলে, সমীকরণ গুণন করে: \[ 4y = 7x \pm \sqrt{65} \] অথবা, \[ 7x - 4y \pm \sqrt{65} = 0 \] এখানে, \(\sqrt{65}\) এর মান প্রায় 8.062, যা কাছাকাছি \(\pm 8\) এর। তাই, সাধারণত সমীকরণটি লেখে: \[ 7x - 4y \pm 8 = 0 \] অতএব, সমাধান হলো: \[ \boxed{7x - 4y \pm 8 = 0} \] উত্তর: **\(7x - 4y \pm 8 = 0\)**