a এর মান কত হলে 2x – y + 5 = 0 এবং ax + 6y – 12 = 0 রেখা দুইটি পরপস্পর লম্ব হবে?

সমাধান:

দেওয়া রেখাগুলির সমীকরণগুলি হলো:

• প্রথম রেখা: \(2x - y + 5 = 0\)
• দ্বিতীয় রেখা: \(ax + 6y - 12 = 0\)

ধাপ ১: প্রতিটি রেখার ধ্রুবকগুণ তাকান

প্রথম রেখার সমীকরণ: \(2x - y + 5 = 0\)

এখানে, \(A_1 = 2\), \(B_1 = -1\)

দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ: \(ax + 6y - 12 = 0\)

এখানে, \(A_2 = a\), \(B_2 = 6\)

ধাপ ২: রেখাগুলির কোণের ধ্রুবক গুণের সম্পর্ক

দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে, তাদের ঢাল (slope) এর গুণফল -1 হবে।

তাই, এই সম্পর্কটি ব্যবহার করে দেখা যাক।

ধাপ ৩: রেখাগুলির ঢাল নির্ণয়

প্রথম রেখার ঢাল: \(m_1 = -\frac{A_1}{B_1} = -\frac{2}{-1} = 2\)

দ্বিতীয় রেখার ঢাল: \(m_2 = -\frac{A_2}{B_2} = -\frac{a}{6}\)

ধাপ ৪: লম্ব রেখার জন্য ধ্রুবক গুণের শর্ত

\(m_1 \times m_2 = -1\)

অর্থাৎ, \(\left(2\right) \times \left(-\frac{a}{6}\right) = -1\)

ধাপ ৫: সমাধান

\(2 \times -\frac{a}{6} = -1\)

\(\frac{-2a}{6} = -1\)

\(\frac{-a}{3} = -1\)

এখানে, গুণের উভয় পাশে -3 গুণ করলে:

\(a = 3\)

উত্তর:

প্রশ্নে দেওয়া অনুযায়ী, a এর মান হলে রেখাগুলি পরস্পর লম্ব হবে, সেটি হলো 3.