Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন:
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = ?
\]
বিবরণ:
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
\]
এই সীমা গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ সীমা, যা 'e' সংখ্যার সংজ্ঞা হিসেবে ব্যবহৃত হয়। এখন এটি কেমন করে সমাধান করব, সেটি দেখানো হলো।
সমাধান:
প্রথমে, ধরি:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
\]
এখন, লিমিটের মান নির্ণয়ের জন্য, লোগারিদম ব্যবহার করি। \( L \) এর লগ নেবো:
\[
\ln L = \lim_{n \to \infty} \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} n \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)
\]
এখন, \( n \to \infty \), তাই:
\[
\ln L = \lim_{n \to \infty} n \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)
\]
এখন, \( x = \frac{1}{n} \), তাহলে যখন \( n \to \infty \), তখন \( x \to 0^+ \), এবং:
\[
\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln (1 + x)}{x^{-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + x)}{x}
\]
এখন, এই সীমা গণিতের পরিচিত সীমা:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1
\]
অতএব,
\[
\ln L = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
L = e^{1} = e
\]
উপসংহার:
\[
\boxed{
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
}
\]
