n পূর্ণ সংখ্যা হলে, \( \sin{n\tau (-1)^n \frac{\tau}{6}} \) এর মান কত?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: \( n \) পূর্ণ সংখ্যা হলে, \( \sin{n\tau (-1)^n \frac{\tau}{6}} \) এর মান কত তা বের করতে বলা হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( \frac{1}{2} \): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। B. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। C. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. 1: ভুল, এটি সঠিক নয়। E. \( -\frac{1}{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: এই প্রশ্নটি ট্রিগনোমেট্রিক ফাংশন ও তার মডুলার সমাধান থেকে বের করা হয়।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( n \) পূর্ণ সংখ্যা হলে, \( \sin{\left( n\pi (-1)^n \frac{\pi}{6} \right)} \) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sin(x) \) একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। এর পর্যায় \( 2\pi \)।

আমাদের প্রদত্ত রাশিমালাটি হল:

\( \sin{\left( n\pi (-1)^n \frac{\pi}{6} \right)} \)

এখানে \( n \) একটি পূর্ণ সংখ্যা। সুতরাং, \( n \) জোড় অথবা বিজোড় হতে পারে।

কেস ১: যখন \( n \) ???োড় সংখ্যা

যদি \( n \) জোড় হয়, তবে \( (-1)^n = 1 \)। সুতরাং,

\( \sin{\left( n\pi \cdot \frac{\pi}{6} \right)} = \sin{\left( \frac{n\pi^2}{6} \right)} \)

এখানে সরাসরি কোনো সিদ্ধান্তে আসা যাচ্ছে না।

যদি \( \pi \) এর বদলে \( \tau \) (tau) ব্যবহার করা হয়, যেখানে \( \tau = 2\pi \), তবে রাশিমালাটি হবে:

\( \sin{\left( n\tau (-1)^n \frac{\tau}{6} \right)} \)

যদি \( n \) জোড় হয়, তবে রাশিমালাটি দাঁড়ায়:

\( \sin{\left( n\tau \frac{\tau}{6} \right)} = \sin{\left( \frac{n\tau^2}{6} \right)} \)

কেস ২: যখন \( n \) বিজোড় সংখ্যা

যদি \( n \) বিজোড় হয়, তবে \( (-1)^n = -1 \)। সুতরাং,

\( \sin{\left( n\pi (-\frac{\pi}{6}) \right)} = \sin{\left( -\frac{n\pi^2}{6} \right)} = -\sin{\left( \frac{n\pi^2}{6} \right)} \)

এখানেও সরাসরি কোনো সিদ্ধান্তে আসা যাচ্ছে না।

যদি \( \pi \) এর বদলে \( \tau \) (tau) ব্যবহার করা হয়, যেখানে \( \tau = 2\pi \), তবে রাশিমালাটি হবে:

\( \sin{\left( n\tau (-1)^n \frac{\tau}{6} \right)} \)

যদি \( n \) বিজোড় হয়, তবে রাশিমালাটি দাঁড়ায়:

\( \sin{\left( -n\tau \frac{\tau}{6} \right)} = -\sin{\left( \frac{n\tau^2}{6} \right)} \)

আবার, যদি প্রশ্নটি এইরকম হয় : \( \sin{\left(n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}\right)} \)

যদি \( n \) জোড় হয়, তবে \( \sin{\left(n\pi + \frac{\pi}{6}\right)} = \sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{2} \), যখন n জোড়।

যদি \( n \) বিজোড় হয়, তবে \( \sin{\left(n\pi - \frac{\pi}{6}\right)} = \sin{\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right)} = \sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{2} \), যখন n বিজোড়।

অতএব, \( \sin{\left(n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{2} \) 😊।

```