sin theta = -1  এর জন্য নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

প্রশ্নে বলা হয়েছে: \(\sin \theta = -1\)। আমাদের লক্ষ্য হচ্ছে সেই সমস্ত \(\theta\) খুঁজে বের করা যা এই সমীকরণটি পূরণ করে।

জানি, \(\sin \theta = -1\) এর মানে হলো, \(\theta\) এর মান সেই বিন্দু যেখানে সাইন মান সর্বনিম্ন মান \(-1\) হয়। এই মানটি সাধারণত ট্রিগোনোমেট্রিক চিত্রে \প্লট করে, যেখানে:

• \(\sin \theta = -1\) হয় যখন \(\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\), যেখানে \(n\) হলো একটি পূর্ণসংখ্যা।

অর্থাৎ, এই সমীকরণের সমাধান হলো:

\[ \theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

এখন, দেখুন, এটি কি নিম্নলিখিত ফর্মের সঙ্গে মিলে?:

\[ (4n - 1) \frac{\pi}{2} \]

চলুন, সেটি বিশ্লেষণ করি।

প্রথমত, \(\frac{3\pi}{2}\) কে আমরা লিখতে পারি:

\[ \frac{3\pi}{2} = (2 \times 1 + 1) \frac{\pi}{2} \] অর্থাৎ, \[ \frac{3\pi}{2} = (2 \times 1 + 1) \frac{\pi}{2} \] পরে, এই ফর্মে general solution লেখা যায়: \[ \theta = (4n - 1) \frac{\pi}{2} \] যেখানে \(n \in \mathbb{Z}\), কারণ: - যখন \(n = 1\), \(\theta = (4 \times 1 - 1) \frac{\pi}{2} = 3 \frac{\pi}{2}\) - যখন \(n = 0\), \(\theta = (4 \times 0 - 1) \frac{\pi}{2} = -1 \times \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}\) - যখন \(n = 2\), \(\theta = (8 - 1) \frac{\pi}{2} = 7 \frac{\pi}{2}\) আর অন্য মানগুলোও এই ফর্মে আসে। মূলত, এই ফর্মটি \(\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\) এর সমতুল্য, কারণ: \[ (4n - 1) \frac{\pi}{2} = 2n \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = n \pi - \frac{\pi}{2} \] তাহলে, এই সমাধানগুলো সবই \(\theta = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\) এর সমতুল্য (কেবল \(n\) এর মান পরিবর্তিত হয়)। বিশেষ করে, এই ফর্মটি \(\sin \theta = -1\) এর সাধারণ সমাধান হিসেবে মান্য। সুতরাং, উপরের বিকল্পটি সঠিক।

সারাংশে:

\(\sin \theta = -1\) এর জন্য সমাধান হলো:

\[ \boxed{\theta = (4n - 1) \frac{\pi}{2}}, \quad n \in \mathbb{Z} \]

অতএব, উপরে দেওয়া বিকল্পটি সঠিক।