lim(x->∞)(2x^2+6x+7)/(3x^2-4x+3) এর মান–

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 6x + 7}{3x^2 - 4x + 3}\)

সমাধান:

1. প্রথমে, মূল ফাংশনটি লিখি: \[ f(x) = \frac{2x^2 + 6x + 7}{3x^2 - 4x + 3} \]
2. যখন \(x \to \infty\), তখন উচ্চতম ডিগ্রির টার্মগুলোই প্রাধান্য পায়। তাই, numerator ও denominator এর উচ্চতম ডিগ্রির টার্মগুলোকে আলাদাভাবে বিবেচনা করি:
• নিউমেটর: \(2x^2\)
• ডেনমিটর: \(3x^2\)
3. অতএব, মূল ফাংশনের সীমা হয়:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 6x + 7}{3x^2 - 4x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 (2 + \frac{6}{x} + \frac{7}{x^2})}{x^2 (3 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2})} \]
4. উপরে, \(x^2\) সাধারণ করে কেটে ফেলি:
\[ = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{6}{x} + \frac{7}{x^2}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} \]
5. যখন \(x \to \infty\), তখন \(\frac{1}{x} \to 0\) এবং \(\frac{1}{x^2} \to 0\)। তাই, সীমার মান হয়:
\[ = \frac{2 + 0 + 0}{3 - 0 + 0} = \frac{2}{3} \]

অতএব, উত্তর: \(\frac{2}{3}\)