\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(2x)}{x} \) এর মান কোনটি?

সমাধান:

আমরা দিতে চাচ্ছি:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(2x)}{x} \]

প্রথমে, লক্ষ্য করুন যে যখন \(x \to 0\), তখন \(2x \to 0\)। তাই, এই লিমিটের জন্য আমরা \(\tan^{-1}(2x)\) এর টেইলর সিরিজ ব্যবহার করতে পারি বা সরাসরি লিমিটের গুণনীয়ক পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি।

পদ্ধতি ১: সরাসরি লিমিটের গুণনীয়ক ব্যবহার

আমরা জানি যে, \(\lim_{y \to 0} \frac{\tan^{-1} y}{y} = 1\). এই সূত্রটি ব্যবহার করে, যেখানে \( y = 2x \), তাহলে:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(2x)}{2x} \times 2 \]

এখন, \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(2x)}{2x} = 1\) কারণ এটা মূল লিমিটের মতো। সুতরাং:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(2x)}{x} = 1 \times 2 = 2 \]

উপসংহার:

অতএব,

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}(2x)}{x} = 2 } \]