cos \( \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta \) হলে cos \( \theta - \sin \theta \) এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদান: \(\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta\) প্রথমে উভয় পাশে \(\cos \theta\) দ্বারা ভাগ করি: \[ \frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{\cos \theta} \] \[ 1 + \tan \theta = \sqrt{2} \] অর্থাৎ, \[ \tan \theta = \sqrt{2} - 1 \] এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো \(\cos \theta - \sin \theta\) এর মান নির্ণয় করা। আমরা জানি: \[ (\cos \theta - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta \] এবং \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\), তাই: \[ (\cos \theta - \sin \theta)^2 = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta \] আমরা জানি: \[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \] অতএব, \[ (\cos \theta - \sin \theta)^2 = 1 - \sin 2\theta \] তাই, \[ \cos \theta - \sin \theta = \pm \sqrt{1 - \sin 2\theta} \] এখন, \(\tan \theta = \sqrt{2} - 1\) থেকে \(\sin \theta\) ও \(\cos \theta\) নির্ণয় করি। \[ \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} \] \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} \] অতএব, \[ \sin \theta = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{1 + (\sqrt{2} - 1)^2}} \] \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{2} - 1)^2}} \] নোট করি: \[ (\sqrt{2} - 1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} \] অতএব, \[ 1 + (\sqrt{2} - 1)^2 = 1 + 3 - 2\sqrt{2} = 4 - 2\sqrt{2} \] প্রশ্নে বলা হয়েছ??, \(\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta\), যা দিয়ে দেখানো হয়: \[ 1 + \tan \theta = \sqrt{2} \] এখন, \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\) এর মান নির্ণয় করি। \[ \sin 2\theta = 2 \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \times \frac{1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} = \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{4 - 2\sqrt{2}} \] উপরের অংকটি সরলীকরণ করি: \[ \sin 2\theta = \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{4 - 2\sqrt{2}} \] নোট করি যে, \[ 4 - 2\sqrt{2} = 2(2 - \sqrt{2}) \] অতএব, \[ \sin 2\theta = \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (2 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - \sqrt{2}} \] রৈখিক রূপান্তর করি: \[ \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} - 1)(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} \] ডেনোমিনেটর: \[ (2)^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2 \] নেমে: \[ \sin 2\theta = \frac{(\sqrt{2} - 1)(2 + \sqrt{2})}{2} \] বহুগুণ করি: \[ (\sqrt{2} - 1)(2 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} \times 2 + \sqrt{2} \times \sqrt{2} - 1 \times 2 - 1 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2 - 2 - \sqrt{2} = (2\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (2 - 2) = \sqrt{2} \] অতএব, \[ \sin 2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] আসলে, \[ \sin 2\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \] এখন, \[ 1 - \sin 2\theta = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \] সুতরাং, \[ \cos \theta - \sin \theta = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}} \] অর্থাৎ, \[ \cos \theta - \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt[4]{2}} \] তবে, মূল লক্ষ্য ছিল \(\cos \theta - \sin \theta\) এর মান। এখন, এর মূল মানটি দেখানো যায় যে, এটি \(\sqrt{2} \sin \theta\), কারণ: \[ \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}} \] এবং আগের হিসাব অনুযায়ী, এটি সমান \(\frac{\sqrt{\sqrt{2} - 1}}{\sqrt[4]{2}}\), যা মূল ফলাফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অতএব, উত্তর: \[ \boxed{\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta} \]