\( \tan\theta = \frac{3}{4} \) হলে নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্ন: \( \tan\theta = \frac{3}{4} \) হলে নিচের কোনটি সঠিক?

উত্তর: \( \sin\theta = -\frac{3}{5} \) এবং \( \cos\theta = -\frac{4}{5} \)

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \). যেহেতু \( \tan\theta \) এর মান ধনাত্মক, তাই \( \sin\theta \) এবং \( \cos\theta \) উভয়েই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হতে হবে। \( \tan\theta = \frac{3}{4} \) দেওয়া আছে। আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করি, যেখানে লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4. তাহলে অতিভুজ হবে:
\( \text{অতিভুজ} = \sqrt{\text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) সুতরাং, \( \sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{3}{5} \) এবং \( \cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{4}{5} \) হতে পারে। আবার, যদি \( \theta \) তৃতীয় চতুর্ভাগে থাকে, তবে \( \sin\theta \) এবং \( \cos\theta \) উভয়েই ঋণাত্মক হবে। সেক্ষেত্রে,
\( \sin\theta = -\frac{3}{5} \) এবং \( \cos\theta = -\frac{4}{5} \) হবে। সুতরাং, \( \tan\theta = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} \) হয়। অতএব, \( \sin\theta = -\frac{3}{5} \) এবং \( \cos\theta = -\frac{4}{5} \) সঠিক উত্তর হতে পারে। 🎉