sin^(–1)x+sin^(–1)y=π/2 হলে x²+y² এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \frac{\pi}{2}\) উত্তর: 1 সমাধান: ধরা যাক, \[ A = \sin^{-1}x \quad \text{এবং} \quad B = \sin^{-1}y \] তাহলে, \[ A + B = \frac{\pi}{2} \] এখন, \(\sin A = x\) এবং \(\sin B = y\)। চলুন, \(A + B = \frac{\pi}{2}\) থেকে, \(\sin(A + B)\) নির্ণয় করি: \[ \sin(A + B) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \] অথবা, \[ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \] এবং, \[ \sin A = x, \quad \sin B = y \] এবং, \[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - x^2} \] \[ \cos B = \sqrt{1 - y^2} \] অতএব, \[ 1 = x \cdot \sqrt{1 - y^2} + y \cdot \sqrt{1 - x^2} \] এখন, এই সমীকরণ থেকে, \(x^2 + y^2\) এর মান নির্ণয় করব। চলুন, উভয় পাশে স্কোয়ার করি: \[ 1 = x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \] \[ \Rightarrow 1^2 = \left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right)^2 \] বিস্তৃত করি: \[ 1 = x^2 (1 - y^2) + y^2 (1 - x^2) + 2xy \sqrt{(1 - y^2)(1 - x^2)} \] সরলীকরণ: \[ 1 = x^2 - x^2 y^2 + y^2 - x^2 y^2 + 2xy \sqrt{(1 - y^2)(1 - x^2)} \] \[ 1 = (x^2 + y^2) - 2 x^2 y^2 + 2xy \sqrt{(1 - y^2)(1 - x^2)} \] চিহ্নিত করি: \[ S = x^2 + y^2 \] এবং, \[ T = x y \] তাহলে, \[ 1 = S - 2 x^2 y^2 + 2 T \sqrt{(1 - y^2)(1 - x^2)} \] তবে, এই সমীকরণ সরাসরি সমাধান করা জটিল। কিন্তু, আমরা লক্ষ্য করি যে, যদি \(x = y\) হয়, তাহলে: \[ A + B = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad 2A = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad A = \frac{\pi}{4} \] অর্থাৎ, \[ \sin A = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] তাহলে, \[ x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] এবং, \[ y = \frac{\sqrt{2}}{2} \] এখন, \[ x^2 + y^2 = 2 \times \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \] অতএব, \(x^2 + y^2 = 1\)। **উত্তর: 1**