7 sin^2 \theta + 3 cos^2 \theta = 4 হলে tan θ এর মান কত?

প্রশ্ন: ৭ sin² θ + ৩ cos² θ = ৪ হলে tan θ এর মান কত?

সমাধান:

প্রথমে, sin² θ এবং cos² θ এর মধ্যে সম্পর্ক জানি:

\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \]

প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ:

\[ 7 \sin^2 \theta + 3 \cos^2 \theta = 4 \]

এখন, \(\sin^2 \theta\) কে \(x\) ধরি, অর্থাৎ:

\[ x = \sin^2 \theta \]

এবং, \(\cos^2 \theta = 1 - x\)

সুতরাং, সমীকরণটি লেখা হবে:

\[ 7x + 3(1 - x) = 4 \]

বিস্তারিত সমাধান:

7x + 3 - 3x = 4
(7x - 3x) + 3 = 4
4x + 3 = 4
4x = 4 - 3
4x = 1
x = \frac{1}{4}

অতএব, \(\sin^2 \theta = \frac{1}{4}\)

এখন, \(\sin \theta = \pm \frac{1}{2}\)

বিশেষ করে, \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

আমরা জানি:

\(\sin^2 \theta = \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \sin \theta = \pm \frac{1}{2}\)
\(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)

অর্থাৎ, \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

এখন, বিভিন্ন ক্ষেত্রে মানগুলো বিবেচনা করি।

1. যদি \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) এবং \(\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\), তবে: \[ \tan \theta = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
2. যদি \(\sin \theta = - \frac{1}{2}\) এবং \(\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\), তবে: \[ \tan \theta = \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \]
3. যদি \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) এবং \(\cos \theta = - \frac{\sqrt{3}}{2}\), তবে: \[ \tan \theta = \frac{\frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \]
4. যদি \(\sin \theta = - \frac{1}{2}\) এবং \(\cos \theta = - \frac{\sqrt{3}}{2}\), তবে: \[ \tan \theta = \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

অতএব, উত্তর:

\( \boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}} \)