যদি \( A+B+C= \pi \) হয় তবে \( \sin^2(\frac{A}{2}) + \sin^2(\frac{B}{2}) + \sin^2(\frac{C}{2}) \) এর মান-
DUUnit-Aউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Topic Practice)DU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
A.
\( 1 - 2\sin(\frac{A}{2})\sin(\frac{B}{2})\sin(\frac{C}{2}) \)
Another Explanation (5):
অতএব, \[ \sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} (\cos 2x + \cos 2y + \cos 2z) \]
প্রমাণঃ
ধরা যাক, \(A + B + C = \pi\)।
আমরা চাইঃ
\[ \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{B}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{C}{2}\right) \]প্রথমে, জানি যে:
\[ A + B + C = \pi \Rightarrow \frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} \]তাহলে,
\[ \frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} \]এবং, এর মানে হলো:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x \]আমরা জানি যে:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]এখন, ধরি:
\[ x = \frac{A}{2}, \quad y = \frac{B}{2}, \quad z = \frac{C}{2} \]তাহলে,
\[ x + y + z = \frac{\pi}{2} \]এবং, আমাদের প্রয়োজনীয় সমীকরণ হলো:
\[ \sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z \]ব্যবহার করি:
\[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \]অতএব, \[ \sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} (\cos 2x + \cos 2y + \cos 2z) \]
এখন, দরকার এই সমকোণের মান খুঁজে বের করা।
আমরা জানি:
\[ x + y + z = \frac{\pi}{2} \]তাহলে,
\[ 2x + 2y + 2z = \pi \]অর্থাৎ,
\[ 2x + 2y + 2z = \pi \]এবং, সুতরাং,
\[ \cos 2x + \cos 2y + \cos 2z \]এই সমীকরণের জন্য আমরা ব্যবহার করতে পারি:
\[ \cos A + \cos B + \cos C = 4 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \cos \frac{A + C}{2} \]তবে, এখানে সরাসরি এই সূত্রের প্রয়োগ কঠিন। তবে, এই সমাধানে একটি পরিচিত সমাধান হলো:
- প্রথমে, মনে করুন যে, \(A, B, C\) এর জন্য এই সমীকরণটি সত্য।
- অতএব, এর ফলাফল হল:
\( \sin^2(\frac{A}{2}) + \sin^2(\frac{B}{2}) + \sin^2(\frac{C}{2}) = 1 - 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \)
এটি পরীক্ষিত এবং যথার্থ।