যদি cosθ=1/2(a+1/a) হয়,তবে cos3θ এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত \( \cos \theta = \frac{1}{2}\left(a + \frac{1}{a}\right) \) আমাদের লক্ষ্য হলো \( \cos 3\theta \) এর মান নির্ণয় করা। প্রথমে, আমরা জানি: \[ \cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta \] অতএব, প্রথমে \( \cos \theta \) এর মান ব্যবহার করে \( \cos^3 \theta \) নির্ণয় করি। প্রদত্ত: \[ \cos \theta = \frac{1}{2}\left(a + \frac{1}{a}\right) \] তাহলে, \[ \cos^3 \theta = \left(\frac{1}{2}\left(a + \frac{1}{a}\right)\right)^3 = \frac{1}{8} \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 \] এখন, \[ \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 = a^3 + 3a^2 \cdot \frac{1}{a} + 3a \cdot \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} \] সরলীকরণ করলে: \[ a^3 + 3a + 3 \frac{1}{a} + \frac{1}{a^3} \] অর্থাৎ, \[ \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3\left(a + \frac{1}{a}\right) \] আমরা জানি: \[ \cos \theta = \frac{1}{2} \left(a + \frac{1}{a}\right) \] তাহলে, \[ a + \frac{1}{a} = 2 \cos \theta \] এবং, \[ \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 = a^3 + \frac{1}{a^3} + 3 \cdot 2 \cos \theta = a^3 + \frac{1}{a^3} + 6 \cos \theta \] অতএব, \[ \cos^3 \theta = \frac{1}{8} \left(a^3 + \frac{1}{a^3} + 6 \cos \theta \right) \] এখন, \( \cos 3\theta \): \[ \cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \] substitute \( \cos^3 \theta \): \[ \cos 3\theta = 4 \times \frac{1}{8} \left(a^3 + \frac{1}{a^3} + 6 \cos \theta \right) - 3 \cos \theta \] সাধারণীকরণ: \[ \cos 3\theta = \frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{1}{a^3} + 6 \cos \theta \right) - 3 \cos \theta \] \[ = \frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{1}{a^3}\right) + 3 \cos \theta - 3 \cos \theta \] উপসংহার: \[ \boxed{ \cos 3\theta = \frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{1}{a^3}\right) } \] **অতএব, উত্তর হলো:** \[ \boxed{ \cos 3\theta = \frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{1}{a^3}\right) } \]