যদি tan⁻¹ 2 + tan⁻¹ 3 + tan⁻¹ 4 = θ হয়, tanθ=?

🤔 প্রশ্ন: যদি \( \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 + \tan^{-1} 4 = \theta \) হয়, তবে \( \tan \theta = ? \)

✍️ সমাধান:

ধরি, \( A = \tan^{-1} 2 \) এবং \( B = \tan^{-1} 3 \)
তাহলে, \( \tan A = 2 \) এবং \( \tan B = 3 \)

আমরা জানি, \( \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \)
অতএব, \( \tan(A + B) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1 \)

সুতরাং, \( A + B = \tan^{-1} (-1) \)
আমরা জানি, \( \tan^{-1} (-1) = -\frac{\pi}{4} \) অথবা \( \frac{3\pi}{4} \)

যেহেতু \( \tan^{-1} 2 \) এবং \( \tan^{-1} 3 \) উভয়ই প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই \( \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 \) এর মান \( \frac{\pi}{2} \) এর থেকে বড় হবে। সুতরাং, \( A + B = \frac{3\pi}{4} \)

এখন, ধরি \( C = \tan^{-1} 4 \)
তাহলে, \( \theta = A + B + C = \frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} 4 \)

অতএব, \( \tan \theta = \tan \left( \frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} 4 \right) \)
আমরা জানি, \( \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \)
এখানে, \( A = \frac{3\pi}{4} \) এবং \( B = \tan^{-1} 4 \)
সুতরাং, \( \tan A = \tan \frac{3\pi}{4} = -1 \) এবং \( \tan B = 4 \)

তাহলে, \( \tan \theta = \frac{-1 + 4}{1 - (-1)(4)} = \frac{3}{1 + 4} = \frac{3}{5} \)

সুতরাং, \( \tan \theta = \frac{3}{5} \)

✅ উত্তর: \( \frac{3}{5} \)