b2sin2C+c2sin2B=?
প্রশ্ন: \(b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B = ?\)
সমাধান:
আমরা জানি, \( \sin 2C = 2 \sin C \cos C \) এবং \( \sin 2B = 2 \sin B \cos B \)। সুতরাং,
\( b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B = b^2 (2 \sin C \cos C) + c^2 (2 \sin B \cos B) \)
\(= 2b^2 \sin C \cos C + 2c^2 \sin B \cos B \)
সাইন সূত্রানুসারে, \( \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \) (যেখানে R পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
সুতরাং, \( \sin B = \frac{b}{2R} \) এবং \( \sin C = \frac{c}{2R} \)।
এখন, \( b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B = 2b^2 \cdot \frac{c}{2R} \cdot \cos C + 2c^2 \cdot \frac{b}{2R} \cdot \cos B \)
\(= \frac{b^2 c}{R} \cos C + \frac{bc^2}{R} \cos B \)
\(= \frac{bc}{R} (b \cos C + c \cos B) \)
আমরা জানি, \( a = b \cos C + c \cos B \)। সুতরাং,
\( b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B = \frac{bc}{R} \cdot a = \frac{abc}{R} \)
আমরা আরও জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( \Delta = \frac{abc}{4R} \)।
সুতরাং, \( 4\Delta = \frac{abc}{R} \)।
অতএব, \( b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B = 4\Delta \).
সুতরাং, উত্তর: \( 4\Delta \) 🎉
```