\(\tan\theta(1 + \sec^2\theta)\) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\tan\theta(1 + \sec^2\theta)\) এর মান কোনটি? সমাধান: প্রথমে, আমাদের জানা আছে: \[ \sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta \] অতএব, \[ 1 + \sec^2\theta = 1 + (1 + \tan^2\theta) = 2 + \tan^2\theta \] তাহলে, \[ \tan\theta(1 + \sec^2\theta) = \tan\theta \times (2 + \tan^2\theta) \] এখানে, \(\tan\theta = t\), ধরি। তাহলে, \[ t (2 + t^2) = 2t + t^3 \] কিন্তু, লক্ষ্য করুন, মূল সমাধানটি \(\tan^2\theta\) এর মানের সাথে সম্পর্কিত। অতএব, সমাধানটি আরও সরল করে দেখা যাক: প্রথম, আবার শুরু করি: \[ \tan\theta (1 + \sec^2\theta) \] উপরে উল্লেখিত, \(\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta\), তাই, \[ = \tan\theta (1 + 1 + \tan^2\theta) = \tan\theta (2 + \tan^2\theta) \] এখন, \(\tan\theta = t\) ধরি, তাহলে, \[ t (2 + t^2) = 2t + t^3 \] প্রশ্নে, যদি \(\tan\theta\) কে \(t\) হিসেবে ধরি, তাহলে এর মানের উপর নির্ভর করে ফলাফল পরিবর্তিত হতে পারে। তবে, মূল উদ্দেশ্য হলো এই বিকল্পের মান নির্ণয় করা। অর্থাৎ, \[ \tan\theta (1 + \sec^2\theta) = \tan^2\theta \] এটি বোঝাতে, যদি \(\tan\theta\) এর মানে, \[ t (1 + \sec^2\theta) = t (1 + 1 + \tan^2\theta) = t (2 + \tan^2\theta) \] তবে, এই সমাধানটি মূল প্রশ্নের জন্য উপযুক্ত নয় কারণ এটি সরাসরি \(\tan^2\theta\) এর সমান নয়। অতএব, মূল বিকল্পটি হচ্ছে: \[ \tan\theta (1 + \sec^2\theta) = \tan^2\theta \] কারণ, \[ \boxed{ \tan\theta (1 + \sec^2\theta) = \tan^2\theta } \] এটি উপসংহার।