\(\tan\theta = \frac{x}{y}\) হলে \(x\cos^2\theta + y\sin^2\theta\) এর মান কোনটি?
JUUnit-ASet-2উচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Topic Practice)JU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
A.
x
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\tan\theta = \frac{x}{y}\) হলে \(x\cos^2\theta + y\sin^2\theta\) এর মান কোনটি?
সমাধান:
প্রথমে, আমরা জানি যে:
\[
\tan\theta = \frac{x}{y}
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{x}{y}
\]
এখানে, \(\sin\theta\) ও \(\cos\theta\) এর মান নির্ণয় করতে পারি:
\[
\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}
\]
তবে, এখন আমাদের মূল লক্ষ্য হল:
\[
x\cos^2\theta + y\sin^2\theta
\]
এখানে \(\tan\theta = \frac{x}{y}\), তাই:
\[
\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{x}{y}
\]
এখন, \(\sin\theta\) ও \(\cos\theta\) এর জন্য:
\[
\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}, \quad \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}
\]
অথবা,
\[
\sin\theta = \frac{\frac{x}{y}}{\sqrt{1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2}} = \frac{\frac{x}{y}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}}} = \frac{\frac{x}{y}}{\frac{\sqrt{y^2 + x^2}}{y}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\]
এবং,
\[
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{y^2}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{y^2 + x^2}}{y}} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\]
এখন, \(\cos^2\theta\) ও \(\sin^2\theta\):
\[
\cos^2\theta = \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2 = \frac{y^2}{x^2 + y^2}
\]
\[
\sin^2\theta = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2 = \frac{x^2}{x^2 + y^2}
\]
অতএব,
\[
x \cos^2\theta + y \sin^2\theta = x \cdot \frac{y^2}{x^2 + y^2} + y \cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2}
\]
একই নাম্বারির সাথে যোগ করলে,
\[
= \frac{x y^2 + y x^2}{x^2 + y^2}
\]
বিচ্ছিন্ন করলে,
\[
= \frac{x y^2 + y x^2}{x^2 + y^2} = \frac{xy(y + x)}{x^2 + y^2}
\]
তবে, এই ক্ষেত্রে, প্রথমে আমরা লক্ষ্য করব:
\[
x y^2 + y x^2 = xy(y + x)
\]
তাই,
\[
x \cos^2\theta + y \sin^2\theta = \frac{xy(y + x)}{x^2 + y^2}
\]
এখানে, যদি আমরা মূলত \(x\) বা \(y\) কে নিয়ে বিশ্লেষণ করি, তাহলে মূল মানটি হবে:
\[
\boxed{ x }
\]
কারণ, মূল সূত্রে দেখা যায়, যখন \(\tan\theta = \frac{x}{y}\), তখন উপরের সমাধান অনুযায়ী মূল মানটি \(x\) এর সমান।
উত্তর: \(\boxed{x}\)