\( 7\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 4 \) হলে \( \sec \theta \) এর মান কত?

প্রশ্ন: \( 7\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 4 \) হলে \( \sec \theta \) এর মান কত?

সমাধান: প্রথমে আমাদের দেওয়া সমীকরণটি লিখে নিই:

\[ 7\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 4 \]

চেক করি, কারণ \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), তাই:

\[ \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta \]

সুতরাং, সমীকরণে স্থানান্তর করি:

\[ 7(1 - \cos^2\theta) + 3\cos^2\theta = 4 \]

বিস্তার করি:

\[ 7 - 7\cos^2\theta + 3\cos^2\theta = 4 \]

সংক্ষেপ করি:

\[ 7 - 4\cos^2\theta = 4 \]

অতএব:

\[ -4\cos^2\theta = 4 - 7 \]

\[ -4\cos^2\theta = -3 \]

দুটি পাশ ভাগ করি \(-4\) দ্বারা:

\[ \cos^2\theta = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \]

অতএব:

\[ \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

এখন, \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\), তাই:

\[ \sec \theta = \pm \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \]

সাধারণত, একক উদ্দিষ্ট কোণের জন্য, আমরা ধনাত্মক মান বিবেচনা করি। সুতরাং,

\[ \boxed{\sec \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}} \]