tan^-1sqrt((1-cosx)/(1+cosx) 

 int f(x)dx এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া আছে: \[ \text{প্রথম অংশ: } \tan^{-1}\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \] এবং \[ \int f(x) \, dx \] এর মান কত? প্রথমে, \(\tan^{-1}\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\) এর মান নির্ণয় করি। ---

ধাপ ১: পরিচিতি সূত্র থেকে সমাধান

\[ \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \] আমরা জানি: \[ \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \tan^2 \left( \frac{x}{2} \right) \] প্রমাণ: \[ \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \tan^2 \frac{x}{2} \] অতএব, \[ \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}} = |\tan \frac{x}{2}| \] ধরা যাক, \(x\) এর জন্য \(x/2\) এর মানের উপর নির্ভর করে, তবে সাধারণত \(x\) এর সীমা অনুযায়ী আমরা \(\tan \frac{x}{2}\) এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারি। তবে সাধারণ সমাধানে, আমরা ধরে নিই: \[ \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \tan \frac{x}{2} \] অতএব, \[ \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \tan^{-1} \left( \tan \frac{x}{2} \right) = \frac{x}{2} \] (যেখানে \(\tan^{-1} \tan \theta = \theta\) যদি \(\theta\) এর মান নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকে, তবে এখানে ধরা হয়েছে যে \(x/2\) এর মান সেই সীমার মধ্যে।) ---

ধাপ ২: সমাধান

সুতরাং, \[ \boxed{ \arctan \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \frac{x}{2} } \] এখন, প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \[ \int f(x) \, dx \] এবং এর মান হলো: \[ \frac{1}{4} x^2 + c \] অর্থাৎ, \[ f(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4} x^2 + c \right) = \frac{1}{2} x \] অতএব, \[ f(x) = \frac{x}{2} \] ---

উপসংহার:

\[ \boxed{ \int f(x) \, dx = \frac{1}{4} x^2 + c } \] এবং \(f(x) = \frac{x}{2}\)। ---

সংক্ষেপে:

\[ \text{প্রথম অংশ: } \arctan \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \frac{x}{2} \] অতএব, ইন্টিগ্রালটির মান হলো: \[ \boxed{ \int f(x) \, dx = \frac{1}{4} x^2 + c } \]