কোন শর্তে y=mx+c সরলরেখাটি y²=4ax পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে?

y=mx+c সরলরেখাটি y²=4ax পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত নির্ণয়:

দেওয়া আছে, সরলরেখাটির সমীকরণ:

\(y = mx + c\) .........(1)

এবং পরাবৃত্তের সমীকরণ:

\(y^2 = 4ax\) .........(2)

(1) নং সমীকরণ থেকে \(y\) এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\((mx + c)^2 = 4ax\)

\(\implies m^2x^2 + 2mcx + c^2 = 4ax\)

\(\implies m^2x^2 + (2mc - 4a)x + c^2 = 0\)

যেহেতু সরলরেখাটি পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে, সুতরাং \(x\) এর মানদ্বয় সমান হবে। অর্থাৎ,

\(x\) এর দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চয়ক (discriminant) শূন্য হবে।

\(\therefore (2mc - 4a)^2 - 4m^2c^2 = 0\)

\(\implies 4m^2c^2 - 16amc + 16a^2 - 4m^2c^2 = 0\)

\(\implies -16amc + 16a^2 = 0\)

\(\implies 16a(a - mc) = 0\)

যেহেতু \(a \neq 0\), সুতরাং \(a - mc = 0\)

\(\implies mc = a\)

\(\implies c = \frac{a}{m}\)

অতএব, \(y = mx + c\) সরলরেখাটি \(y^2 = 4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত হলো \(c = \frac{a}{m}\)। 🎉