lim_(xto0) (e^x-1)/x=? 

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = ? \)

উত্তর: 1

ব্যাখ্যা:

আমরা এই লিমিটটি নির্ণয় করার জন্য কয়েকটি পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। নিচে দুটি পদ্ধতি আলোচনা করা হলো:

পদ্ধতি ১: ল' হসপিটাল রুল (L'Hôpital's Rule)

যেহেতু \( x \to 0 \) হলে, \( e^x - 1 \to 0 \) এবং \( x \to 0 \), তাই এটি \( \frac{0}{0} \) আকারের একটি অনির্ণেয় রূপ। এক্ষেত্রে ল' হসপিটাল রুল প্রয়োগ করা যায়।

ল' হসপিটাল রুল অনুসারে, যদি \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) এর মান \( \frac{0}{0} \) অথবা \( \frac{\infty}{\infty} \) আকারের হয়, তবে:

\( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) (যদি এই লিমিটটি বিদ্যমান থাকে)

এখানে, \( f(x) = e^x - 1 \) এবং \( g(x) = x \)।

অতএব, \( f'(x) = e^x \) এবং \( g'(x) = 1 \)।

সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1 \)。 🎉

পদ্ধতি ২: টেইলর ধারা (Taylor Series)

\( e^x \) এর টেইলর ধারা হলো:

\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \)

সুতরাং, \( e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \)

এখন, \( \frac{e^x - 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots \)

সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots) = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1 \)। ✨

সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \). 💯