∫dx/(e^(2x)−1)=?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: 🤔 আমরা \( \int \frac{dx}{e^{2x} - 1} \) এর মান নির্ণয় করব। ধরি, \( u = e^{-x} \) 🤩 তাহলে, \( du = -e^{-x} dx \) বা \( dx = -\frac{du}{e^{-x}} = -\frac{du}{u} \) হবে। এখন, সমাকলনটি হবে: \( \int \frac{dx}{e^{2x} - 1} = \int \frac{-\frac{du}{u}}{(\frac{1}{u^2}) - 1} = \int \frac{-du}{u(\frac{1 - u^2}{u^2})} = \int \frac{-u}{1 - u^2} du \) এখন, ধরি \( v = 1 - u^2 \), তাহলে \( dv = -2u du \) বা \( u du = -\frac{1}{2} dv \) সুতরাং, \( \int \frac{-u}{1 - u^2} du = \int \frac{1}{2v} dv = \frac{1}{2} \ln|v| + c_1 = \frac{1}{2} \ln|1 - u^2| + c_1 \) u এর মান বসিয়ে পাই, \( \frac{1}{2} \ln|1 - e^{-2x}| + c_1 = \frac{1}{2} \ln|1 - \frac{1}{e^{2x}}| + c_1 = \frac{1}{2} \ln|\frac{e^{2x} - 1}{e^{2x}}| + c_1 \) \( = \frac{1}{2} \ln|e^{2x} - 1| - \frac{1}{2} \ln|e^{2x}| + c_1 = \frac{1}{2} \ln|e^{2x} - 1| - x + c_1 \) এখন উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য অন্যভাবে করা যাক। \( \int \frac{dx}{e^{2x} - 1} = \int \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} dx \) ধরি, \( u = e^{-2x} \), \( du = -2e^{-2x} dx \) তাহলে, \( \int \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{du}{1 - u} = \frac{1}{2} \ln|1 - u| + c_1 = \frac{1}{2} \ln|1 - e^{-2x}| + c_1 \) \( = \frac{1}{2} \ln|1 - \frac{1}{e^{2x}}| + c_1 = \frac{1}{2} \ln|\frac{e^{2x} - 1}{e^{2x}}| + c_1 = \frac{1}{2} \ln|e^{2x} - 1| - x + c_1 \) আরেকভাবে: \( \int \frac{dx}{e^{2x} - 1} = \int \frac{1}{e^{2x} - 1} dx = \int \frac{1}{(e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})} e^{-2x} dx \) \( = \int \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} dx \) let \( u = e^x \) then \( \frac{1}{e^{2x} - 1} = \frac{1}{(e^x-1/e^x)(e^x+1/e^x)}dx \) \( e^{2x} - 1 = (e^x)^2 - 1\) এখন, \( \int \frac{dx}{e^{2x} - 1} = \int \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} dx \) ধরি \( t = e^{-x} \) সুতরাং \( dt = -e^{-x} dx \) \( \int \frac{dx}{e^{2x} - 1} = \int \frac{1}{e^{2x} - 1} dx = \int \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} dx = \int \frac{t^2}{1/t^2 -1} \frac{-dt}{t} = \int \frac{-tdt}{1 - t^2} = -\frac{1}{2}\ln(1-e^{-2x})+c \) প্রদত্ত উত্তর: \( -\sin^{-1}e^{-x} + c \) এটা সম্ভবত ভুল। 😥