int_0^1(dx)/sqrt(2x-x^2)=? 

প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = ?\)

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রান্ডটিকে সরল করি:

\(\sqrt{2x-x^2} = \sqrt{1 - (1-2x+x^2)} = \sqrt{1 - (x-1)^2}\)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

\(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-(x-1)^2}}\)

এখন, আমরা \(x-1 = \sin\theta\) প্রতিস্থাপন করি। তাহলে, \(dx = \cos\theta d\theta\)।

যখন \(x = 0\), \(\sin\theta = -1\), সুতরাং \(\theta = -\frac{\pi}{2}\)।

যখন \(x = 1\), \(\sin\theta = 0\), সুতরাং \(\theta = 0\)।

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{|\cos\theta|}\)

যেহেতু \(-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0\) এর মধ্যে \(\cos\theta \ge 0\), তাই \(|\cos\theta| = \cos\theta\)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{-\pi/2}^0 d\theta = [\theta]_{-\pi/2}^0 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\)

অতএব, \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{\pi}{2}\) 😊

কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি \(5\pi/2\)। 🤔 সম্ভবত প্রশ্ন বা উত্তরে কোথাও একটি ভুল আছে। যদি উত্তরের সাথে মিল রাখতে চাই তবে অংকটিতে জটিল পরিবর্তন আনতে হবে, যা স্বাভাবিক নয়। তাই প্রদত্ত সমাধানটিই সঠিক।👍