int_0^asqrt(a^2-x^2)dx=? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = ?\) উত্তর: \(\frac{\pi a^2}{4}\) --- সমাধান: আমরা ইন্টিগ্রালটি সমাধান করবো \(\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx\)। প্রথমে, সমাধানের জন্য উপযুক্ত পদ্ধতি হলো ট্রিগনোমেট্রিক সাবস্টিটিউশন। ধরা যাক, \(x = a \sin \theta\), অতএব, \[ dx = a \cos \theta \, d\theta \] আর, \[ \sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta} = a \cos \theta \] সীমা পরিবর্তন: যখন \(x = 0\), তখন \(\theta = 0\); যখন \(x = a\), তখন \(\sin \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}\)। অতএব, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তরিত হবে: \[ \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} a \cos \theta \times a \cos \theta \, d\theta = a^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta \] এখন, \[ \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta \] অর্থাৎ, কৌশলগতভাবে, \[ \int \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C \] প্রদত্ত সীমার জন্য, \[ \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_0^{\pi/2} \] গণনা: \[ = \left( \frac{\pi/2}{2} + \frac{\sin (\pi)}{4} \right) - \left( 0 + 0 \right) = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4} \] সুতরাং, \[ \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = a^2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi a^2}{4} \] **উত্তর:**