int_0^asqrt(a^2-x^2) dx

 এর যোজিত ফল নিম্নের কোনটি?

সমাধান:

আমরা \( \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \) এর মান নির্ণয় করতে চাই।

ধরি, \( x = a \sin(\theta) \)। তাহলে, \( dx = a \cos(\theta) \, d\theta \)।

যখন \( x = 0 \), তখন \( a \sin(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 0 \)।

যখন \( x = a \), তখন \( a \sin(\theta) = a \Rightarrow \sin(\theta) = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} \)।

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2(\theta)} \cdot a \cos(\theta) \, d\theta \)

\( = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2(1 - \sin^2(\theta))} \cdot a \cos(\theta) \, d\theta \)

\( = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 \cos^2(\theta)} \cdot a \cos(\theta) \, d\theta \)

\( = \int_0^{\frac{\pi}{2}} a \cos(\theta) \cdot a \cos(\theta) \, d\theta \)

\( = a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\theta) \, d\theta \)

আমরা জানি, \( \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \)। সুতরাং,

\( = a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta \)

\( = \frac{a^2}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta \)

\( = \frac{a^2}{2} \left[ \theta + \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \)

\( = \frac{a^2}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - \left( 0 + \frac{\sin(0)}{2} \right) \right] \)

\( = \frac{a^2}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right] \)

\( = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \)

\( = \frac{\pi a^2}{4} \)

সুতরাং, \( \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{\pi a^2}{4} \)। 🎉