int_0^1dx/(sqrt(2x-x^2))=? 

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রালটিকে সহজ করার চেষ্টা করি:

∫₀¹ dx / √(2x - x²)

আমরা 2x - x² কে লিখতে পারি 1 - (x - 1)²। সুতরাং,

∫₀¹ dx / √(1 - (x - 1)²)

এখন, ধরি x - 1 = sin θ। তাহলে dx = cos θ dθ।

যখন x = 0, তখন sin θ = -1, সুতরাং θ = -π/2।

যখন x = 1, তখন sin θ = 0, সুতরাং θ = 0।

তাহলে ইন্টিগ্রালটি হবে:

∫_-π/2⁰ cos θ dθ / √(1 - sin² θ)

∫_-π/2⁰ cos θ dθ / √cos² θ

∫_-π/2⁰ dθ

[θ]_-π/2⁰ = 0 - (-π/2) = π/2

সুতরাং, ∫₀¹ dx / √(2x - x²) = π/2। 🎉

অতএব, উত্তর হল π/2। ✅