int_0^1(dx)/(sqrt(2x-x^2)) 

প্রশ্ন: \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}\)

সমাধান:

প্রথমে, ইন্টিগ্রান্ডটিকে সরল করা যাক:

\(2x - x^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - (x - 1)^2\)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}}\)

এখন, \(x - 1 = \sin(\theta)\) প্রতিস্থাপন করি। তাহলে, \(dx = \cos(\theta) d\theta\).

যখন \(x = 0\), \(\sin(\theta) = 0 - 1 = -1\), সুতরাং \(\theta = -\frac{\pi}{2}\).

যখন \(x = 1\), \(\sin(\theta) = 1 - 1 = 0\), সুতরাং \(\theta = 0\).

তাহলে ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{\cos^2(\theta)}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos(\theta) d\theta}{\cos(\theta)}\)

\(= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} d\theta = [\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\)

সুতরাং, \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{\pi}{2}\).

উত্তর: \(\frac{\pi}{2}\) 🎉