\( \int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx = ? \)

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx \] এটি একটি বৃত্তের আয়তনের আংশিক ইন্টিগ্রাল। এই বৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ x^2 + y^2 = 4 \] আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এটি একটি রেডিয়াস 2 এর বৃত্তের উপর। ইন্টিগ্রালটি বৃত্তের উপরের অর্ধেকের আয়তন নির্ণয় করবে, যেখানে \(x\) এর মান 0 থেকে 2 পর্যন্ত।

সমাধান:

\[ \int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx \] এই ইন্টিগ্রালটি বৃত্তের উপরের অর্ধেকের আয়তন নির্ণয় করতে পারে। বৃত্তের পূর্ণ আয়তন হলো: \[ \text{Area of full circle} = \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi \] উপরের অর্ধেকের আয়তন: \[ \frac{1}{2} \times 4\pi = 2\pi \] অর্থাৎ, এই ইন্টিগ্রালটি বৃত্তের উপরের অর্ধেকের আয়তন সমান, যা হয়: \[ \int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = 2\pi \] আমাদের ইন্টিগ্রালটি শুধুমাত্র \(x=0\) থেকে \(x=2\) পর্যন্ত, অর্থাৎ বৃত্তের এক চতুর্থাংশের আয়তন। তাই, \[ \int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx = \frac{1}{4} \times 4\pi = \pi \]

উত্তর:

\[ \boxed{\pi} \]