int_0^1 (dx)/(√(2x-x^2) এর মান নির্ণয় কর।

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} \) প্রথমে, ইন্টিগ্র‍্যান্ডটিকে একটু সরল করা যাক: \( 2x - x^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - (x - 1)^2 \) সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়: \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}} \) এখন, \( x - 1 = \sin\theta \) প্রতিস্থাপন করি। তাহলে, \( dx = \cos\theta d\theta \) হবে। সীমা পরিবর্তন করি: যখন \( x = 0 \), \( \sin\theta = 0 - 1 = -1 \), সুতরাং \( \theta = -\frac{\pi}{2} \) যখন \( x = 1 \), \( \sin\theta = 1 - 1 = 0 \), সুতরাং \( \theta = 0 \) তাহলে ইন্টিগ্রালটি হবে: \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos\theta d\theta}{\cos\theta} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} d\theta \) এখন ইন্টিগ্রেট করি: \( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} d\theta = [\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \) সুতরাং, \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} = \frac{\pi}{2} \) 🎉 কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি \(-\frac{\pi}{2}\), যা ভুল। সঠিক উত্তর হবে \( \frac{\pi}{2} \)। ✅