$\int_{0}^{5} x\, dx \sqrt{1 - x^2}$ = ?

Question

Accepted Answer

সঠিক উত্তর: $1 - 2\sqrt{6}i$। ব্যাখ্যা: Hints: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = 2\sqrt{f(x)} + C$  
Solve:  
$$
\int_{0}^{5} \frac{x dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{-2} \int_{0}^{5} \frac{-2x dx}{\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{1}{2}\left[2\sqrt{1 - x^2}\right]_{0}^{5}
$$  
$$
= -\sqrt{1 - x^2}\Big|_0^5 = -\sqrt{1 - 5^2} + \sqrt{1 - 0^2} = -\sqrt{-24} + 1 
$$  
$$
= 1 - \sqrt{24}i = 1 - 2\sqrt{6}i
$$  
Ans. (A)  
ব্যাখ্যা: প্রদত্ত Integrand টিটে রয়েছে $\sqrt{1 - x^2}$ এর ভিতরের রাশি $(1 - x^2)$, যার অন্তর্গত $-2x$, এটা প্রায় উপস্থিত লভে বিদ্যমান। তবে Extra -2 যুক্ত করে সামনের $-2$ দ্বারা ভাগ করে দিলে রাশিটি Balanced হয়।  
যেহেতু এরকম ক্ষেত্রে Integrand টির যোগজ হয় $2\sqrt{f(x)}$ এর রাশি, তাই প্রশ্নের প্রদত্ত ফাংশনটির যোগজ হয়েছে $2\sqrt{1 - x^2}$।  
কেনো $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = 2\sqrt{f(x)}?$  
এটা একটি সহজ উদাহরণের মাধ্যমে খুব সহজেই প্রমাণ করা যায়। $2\sqrt{x}$ এর অন্তর্গত হচ্ছে $\frac{1}{\sqrt{x}}$।  
অর্থাৎ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ এর যোগজ হচ্ছে $2\sqrt{x}$; খেয়াল করো, $\frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$ এর ভিতরের $x$ এর অন্তর্গত 1, যা লভে বিদ্যমান।  
যেহেতু ফাংশনটির যোগজ হচ্ছে $2\sqrt{\text{রাশি}}$, সেহেতু $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$ এর যোগজ হবে $2\sqrt{f(x)}$।

\(\int_{0}^{5} x\, dx \sqrt{1 - x^2}\) = ?