y² = 4x এবং y = x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল -- 

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \(y^2 = 4x\) এবং \(y = x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, \(y^2 = 4x\) এবং \(y = x\) এর ছেদ বিন্দুগুলো বের করি। \(y^2 = 4x\) সমীকরণে \(y = x\) বসালে পাই, \(x^2 = 4x\) \(x^2 - 4x = 0\) \(x(x - 4) = 0\) সুতরাং, \(x = 0\) অথবা \(x = 4\)। যখন \(x = 0\), তখন \(y = 0\)। যখন \(x = 4\), তখন \(y = 4\)। সুতরাং ছেদ বিন্দুগুলো হলো \((0, 0)\) এবং \((4, 4)\)। এখন, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করি। যেহেতু \(y^2 = 4x\) থেকে \(x = \frac{y^2}{4}\) পাওয়া যায়, তাই \(y\) এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেট করা সুবিধাজনক। ক্ষেত্রফল, \(A = \int_{0}^{4} (y - \frac{y^2}{4}) dy\) \(A = \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{12} \right]_{0}^{4}\) \(A = \left( \frac{4^2}{2} - \frac{4^3}{12} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{12} \right)\) \(A = \frac{16}{2} - \frac{64}{12}\) \(A = 8 - \frac{16}{3}\) \(A = \frac{24 - 16}{3}\) \(A = \frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🥳 সুতরাং, \(y^2 = 4x\) এবং \(y = x\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক। 🎉

উত্তর: \(\frac{8}{3}\) বর্গ একক।

```