\( \int_1^2 \frac{dx}{x^2 \sqrt{4 - x^2}} \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা নিম্নলিখিত ইন্টিগ্রালটি সমাধান করব:

\[ I = \int_1^2 \frac{dx}{x^2 \sqrt{4 - x^2}} \]

ধাপ ১: পরিবর্তন

আমরা ট্রিগোনোমেট্রিক substitution ব্যবহার করব। কারণ \(\sqrt{4 - x^2}\) এর জন্য নিচের substitution সুবিধাজনক হবে: \[ x = 2 \sin \theta \] অতঃ \[ dx = 2 \cos \theta \, d\theta \] এবং সীমা পরিবর্তন: যখন \(x=1\), \(\sin \theta = \frac{1}{2}\), তাই \(\theta = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\) যখন \(x=2\), \(\sin \theta = 1\), তাই \(\theta = \frac{\pi}{2}\)

ধাপ ২: ইন্টিগ্রাল পরিবর্তন

\[ I = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{2 \cos \theta \, d\theta}{(2 \sin \theta)^2 \sqrt{4 - (2 \sin \theta)^2}} \] সাধারণীকরণ: \[ x^2 = (2 \sin \theta)^2 = 4 \sin^2 \theta \] এবং \[ \sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} = \sqrt{4(1 - \sin^2 \theta)} = 2 \cos \theta \] অতঃ \[ I = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{2 \cos \theta \, d\theta}{4 \sin^2 \theta \times 2 \cos \theta} \] সুতরাং, \[ I = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{2 \cos \theta}{8 \sin^2 \theta \cos \theta} \, d\theta = \int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1}{4 \sin^2 \theta} \, d\theta \] এখানে \(\cos \theta\) কেটে গেছে। এখন, \[ I = \frac{1}{4} \int_{\pi/6}^{\pi/2} \csc^2 \theta \, d\theta \]

ধাপ ৩: ইন্টিগ্রাল সমাধান

আমাদের জানা আছে: \[ \int \csc^2 \theta \, d\theta = - \cot \theta + C \] অতঃ \[ I = \frac{1}{4} \left[ - \cot \theta \right]_{\pi/6}^{\pi/2} \] সুতরাং, \[ I = - \frac{1}{4} \left( \cot \frac{\pi}{2} - \cot \frac{\pi}{6} \right) \] ধরি, \[ \cot \frac{\pi}{2} = 0 \] এবং \[ \cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \] অতঃ, \[ I = - \frac{1}{4} (0 - \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4} \]

উপসংহার:

অতএব, ইন্টিগ্রালের মান হলো:

\[ \boxed{\frac{\sqrt{3}}{4}} \]