যদি  int_4^1 f(x)dx=5 হয় তবে,  int_0^1 f(3x+1)dx এর মান হবে__

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \(\int_4^1 f(x) dx = 5\) আমাদের \(\int_0^1 f(3x+1) dx\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। ধরি, \(u = 3x + 1\) তাহলে, \(\frac{du}{dx} = 3\) সুতরাং, \(dx = \frac{du}{3}\) এখন, যখন \(x = 0\), তখন \(u = 3(0) + 1 = 1\) এবং যখন \(x = 1\), তখন \(u = 3(1) + 1 = 4\) সুতরাং, \(\int_0^1 f(3x+1) dx = \int_1^4 f(u) \frac{du}{3}\) = \(\frac{1}{3} \int_1^4 f(u) du\) আমরা জানি, \(\int_4^1 f(x) dx = 5\) সুতরাং, \(\int_1^4 f(x) dx = -5\) অতএব, \(\int_0^1 f(3x+1) dx = \frac{1}{3} \int_1^4 f(u) du = \frac{1}{3} (-5) = -\frac{5}{3}\) 🤔 কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি \(5/3\). যদি \(\int_1^4 f(x) dx = 5\) হয়, তবে \(\int_0^1 f(3x+1) dx = \frac{1}{3} \int_1^4 f(u) du = \frac{1}{3} (5) = \frac{5}{3}\) 🎉