int_½^1(dx)/sqrt(x²-x) এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^2 - x}} \) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা প্রথমে \( x^2 - x \) কে পূর্ণবর্গ আকারে লিখি:
\( x^2 - x = x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 \)

সুতরাং, \( \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^2 - x}} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}} \)

এখন, ধরি \( x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec{\theta} \)
তাহলে, \( dx = \frac{1}{2} \sec{\theta} \tan{\theta} d\theta \)

যখন \( x = \frac{1}{2} \), তখন \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec{\theta} \Rightarrow \sec{\theta} = 0 \), যা সংজ্ঞায়িত নয়। 🤔 সুতরাং, এই প্রতিস্থাপনটি সরাসরি ব্যবহার করা যায় না।

আমরা অন্যভাবে চেষ্টা করি।
\( \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^2 - x}} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}} \)

আমরা জানি, \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \cosh^{-1}(\frac{x}{a}) + C \)

সুতরাং, \( \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}} = \left[ \cosh^{-1}\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\right) \right]_{\frac{1}{2}}^{1} \)
\( = \left[ \cosh^{-1}(2x - 1) \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = \cosh^{-1}(2(1) - 1) - \cosh^{-1}(2(\frac{1}{2}) - 1) \)
\( = \cosh^{-1}(1) - \cosh^{-1}(0) \)

আমরা জানি, \( \cosh^{-1}(1) = 0 \)। কিন্তু \( \cosh^{-1}(0) \) সংজ্ঞায়িত নয়। 🤔

আবার, \( x^2-x= x(x-1) \)

যেহেতু \( \frac{1}{2} \le x \le 1 \), তাই \( x^2-x \le 0 \) হবে। কিন্তু রুটের ভিতরে ঋণাত্মক মান থাকতে পারে না। সুতরাং, এই ইন্টিগ্রালটি সংজ্ঞায়িত নয়। 🤔

অ্যানসার শীটে \( \frac{\pi}{2} \) দেওয়া আছে, সম্ভবত প্রশ্নটি ভুল আছে। যদি প্রশ্নটি \( \int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{x^2-x}} \) অথবা অন্য কোনো সঠিক প্রশ্ন হয়, তাহলে সেটি সমাধান করা যেতে পারে।