∫_0^(π/2)cos^5x dx  এর মান কত?

প্রথমে, আমরা ইন্টিগ্রালটি লিখবঃ

\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x\, dx \)

আমরা \(\cos^5 x\) কে \(\cos^3 x \cdot \cos^2 x\) রূপে লিখব এবং \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) ব্যবহার করব।

\( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \cdot (1 - \sin^2 x) \, dx \)

এখানে, আমরা substitution \( u = \sin x \) করব, তাহলে \( du = \cos x\, dx \) এবং যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 0 \), এবং যখন \( x = \frac{\pi}{2} \), তখন \( u = 1 \)।

\[
\begin{aligned}
I &= \int_{u=0}^{1} \cos^2 x \cdot (1 - u^2) \, du \\
&= \int_{0}^{1} (1 - u^2) \cdot \cos^2 x \, du
\end{aligned}
\]

এখন, \(\cos x = \sqrt{1 - u^2}\), তাই \(\cos^2 x = 1 - u^2\)।

\( I = \int_{0}^{1} (1 - u^2)^2 \, du \)

এখন, এই ইন্টিগ্রালটি খোলা যাক:

\( I = \int_{0}^{1} (1 - 2u^2 + u^4) \, du \)

এখন, প্রতিটি টার্মের জন্য ইন্টিগ্রাল হিসেব করি:

\[
\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{1} 1\, du - 2 \int_{0}^{1} u^2\, du + \int_{0}^{1} u^4\, du \\
&= \left[ u \right]_0^1 - 2 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 + \left[ \frac{u^5}{5} \right]_0^1 \\
&= (1 - 0) - 2 \left( \frac{1}{3} - 0 \right) + \left( \frac{1}{5} - 0 \right) \\
&= 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}
\end{aligned}
\]

এখন, সকল ভগ্নাংশ একসাথে করার জন্য সাধারণ অসাধারণ গুণনামা নিন:

\( I = \frac{15}{15} - \frac{10}{15} + \frac{3}{15} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15} \)

অতএব,

\( \boxed{\frac{8}{15}} \)