intdx/(e^x+e^-x) = ? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\displaystyle \int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}\) প্রথমে, নিচের সমীকরণটি লক্ষ্য করি: \[ \frac{1}{e^x + e^{-x}} \] এটি সরলীকরণ করতে, আমরা \(e^x\) কে \(t\) দিয়ে প্রতিস্থাপন করব: \[ t = e^x \Rightarrow dt = e^x dx = t dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{t} \] এখন, সমাকলনে: \[ e^x + e^{-x} = t + \frac{1}{t} = \frac{t^2 + 1}{t} \] অতএব, ইনটিগ্রালটি হবে: \[ \int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{t}} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{t}{t^2 + 1} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{1}{t^2 + 1} dt \] এখন, আমাদের সাধারণ ইন্টিগ্রাল রূপ: \[ \int \frac{1}{t^2 + 1} dt = \arctan t + C \] প্রথমে, \(t = e^x\) ছিল: \[ \Rightarrow \arctan (e^x) + C \] তাই, মূল সমাধান হলো:

উত্তর:

\[ \boxed{\arctan e^x + C} \] এবং, যেহেতু \(\arctan e^x = \tan^{-1} e^x\), তাই:

অন্তর্বর্তী:

\[ \boxed{\tan^{-1} e^x + C} \]