int 1/(e^(ax)+e^(-1x)) dx =?

প্রশ্ন: \( \int \frac{1}{e^{ax} + e^{-ax}} \, dx = ? \)

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রালটিকে একটু পরিবর্তন করে লিখি: 📝

\( \int \frac{1}{e^{ax} + e^{-ax}} \, dx = \int \frac{e^{ax}}{e^{2ax} + 1} \, dx \)

ধরি, \( u = e^{ax} \). তাহলে, \( du = a e^{ax} \, dx \). সুতরাং, \( dx = \frac{du}{a e^{ax}} = \frac{du}{a u} \). 🤓

এখন ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int \frac{u}{u^2 + 1} \cdot \frac{du}{a u} = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du \)

আমরা জানি, \( \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \tan^{-1}(u) + C \). 🎉

সুতরাং, \( \frac{1}{a} \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \frac{1}{a} \tan^{-1}(u) + C \). 😊

এখন \( u \) এর মান বসিয়ে পাই, \( u = e^{ax} \):

\( \frac{1}{a} \tan^{-1}(e^{ax}) + C \). 🥳

অতএব, \( \int \frac{1}{e^{ax} + e^{-ax}} \, dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(e^{ax}) + C \). ✅