\( \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & k \end{matrix} \right| \) নির্ণায়কের মান 2 হলে, \( k \) এর মান কত?
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, নির্ণায়ক (determinant) হলো:
\[
\left| \begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
1 & 4 & k
\end{matrix} \right| = 2
\]
এবং আমাদের লক্ষ্য হলো \(k\) এর মান নির্ণয় করা।
ধাপ ১: নির্ণায়ক নির্ণয় করুন
\[
\det =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
1 & 4 & k
\end{vmatrix}
\]
নির্ণায়ক নির্ণয় করতে, প্রথম সারির উপাদান অনুযায়ী ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন পদ্ধতি ব্যবহার করি:
\[
\det = 1 \cdot
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
4 & k
\end{vmatrix}
- 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 3 \\
1 & k
\end{vmatrix}
+ 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
1 & 4
\end{vmatrix}
\]
প্রতিটি 2x2 মেট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয় করি:
\[
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc
\]
অর্থাৎ,
\[
\det = 1 \cdot (2 \cdot k - 3 \cdot 4) - 1 \cdot (1 \cdot k - 3 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 4 - 2 \cdot 1)
\]
এখন, মানগুলো নির্ণয় করি:
\[
= 1 \cdot (2k - 12) - 1 \cdot (k - 3) + 1 \cdot (4 - 2)
\]
\[
= (2k - 12) - (k - 3) + (2)
\]
\[
= 2k - 12 - k + 3 + 2
\]
\[
= (2k - k) + (-12 + 3 + 2)
\]
\[
= k - 7
\]
অতএব, নির্ণায়ক হলো:
\[
\det = k - 7
\]
ধাপ ২: সমাধান করুন
দেয়া হয়েছে, নির্ণায়ক মান 2, সুতরাং:
\[
k - 7 = 2
\]
অতএব,
\[
k = 2 + 7 = 9
\]
উত্তর:
\[
\boxed{9}
\]